PID简介
PID是比例（Proportional）、积分（Integral）、微分（Differential）的缩写 。这里的微积分只用到了很浅显的概念，理解起来不需要太多数学知识。
PID是一种闭环控制算法，它动态改变施加到被控对象的输出值（Out），使得被控对象某一物理量的实际值（Actual），能够快速、准确、稳定地跟踪到指定的目标值（Target）。
PID是一种基于误差（Error）调控的算法，其中规定：误差=目标值-实际值，PID的任务是使误差始终为0。
PID对被控对象模型要求低，无需建模，即使被控对象内部运作规律不明确，PID也能进行调控。
PID原理
开环与闭环
开环（Open Loop）：控制器单向输出值给被控对象，不获取被控对象的反馈，控制器对被控对象的执行状态不清楚。
闭环（Closed Loop）：控制器输出值给被控对象，同时获取被控对象的反馈，控制器知道被控对象的执行状态，可以根据反馈修改输出值以优化控制。 
PID公式与系统框图
定义误差：
PID输出值：error(t)+Ti分之一倍的error(t)从0~t的积分+Td倍的error(t)对t求微分。Kp是比率系数，Ti是积分时间常数，Td是微分时间常数。（此公式不常用，我们比较常用的是下面的公式！）
PID输出值：Kp*error(t)+Ki*error(t)从0~t的积分+Kd*error(t)对t求微分。
其实下面的公式就是把Kp乘进去，上面的公式，改变Kp会同时影响里面的3项，不便于参数的调节，而下面的公式就更加独立，Kp调节第一项，Ki调节第二项，Kd调节第三项。这3项的计算，就分别叫做P（比例）、I（积分）、D（微分）。
这些公式是咋来的？设计者是咋想的？为什么会想到这些公式呢？我们接下来的任务，就是要分析这些公式是什么意思，我要提前说一下，PID公式更多的是类似“经验”公式，就像和面一样，水多了加面，面多了加水。
比例项（P）
只含有比例项的PID输出值： out(t)=Kp∗error(t)
比例项的输出值仅取决于当前时刻的误差，与历史时刻无关。当前存在误差时，比例项输出一个与误差呈正比的值，当前不存在误差时，比例项输出0。
Kp越大，比例项权重越大，系统响应越快，但超调也会随之增加；比如当前误差是10，意思是实际值比目标值低10，那么输出肯定要进行正向调控，让实际值高一些，然后，如果Kp给0.1，那么输出值是1，那么意思就是正向调控1（0.1*10）这么大的力度，如果Kp给1，那么意思就是正向调控10（1*10）这么大的力度，所以Kp越大，调控的力度就越大。但是Kp不能太大，否则只有一点很小的误差，P项就很猛的调，显然会导致超调，甚至会导致系统自激振荡。
但是纯比例项控制时，会有一个问题，那就是纯比例项控制时，系统一般会存在稳态误差，Kp越大，稳态误差越小。但我们刚才说了，Kp不能无限加大，会导致超调，所以通过使劲加大Kp来消除稳态误差是不现实的，那么稳态误差是什么？为什么会有稳态误差？我们来看看图：
我们可以看到，Kp从0.25到1之间的波形，我们的红线是设定值，紫线是实际值，红线和紫线的差值就是“稳态误差”，我们可以看到，Kp越大，稳态误差越小，但同样的会出现越来越严重的超调现象。当Kp为1时，超调现象已经很严重，但稳态误差仍然没有被消除，所以所以通过使劲加大Kp来消除稳态误差是不现实的。
PID稳态误差：系统进入稳态时，实际值和目标值存在始终一个稳定的差值。
稳态误差产生原因：纯比例项控制时，若误差为0，则比例项结果也为0。被控对象输入0时，一般会自发地向一个方向偏移，产生误差。产生误差后，误差非0，比例项负反馈调控输出，当调控输出力度和自发偏移力度相同时，系统达到稳态。
说白了，我们这个实验是通过PWM调节的，你想，PID的的输出值为0，那么驱动力就相当于是0，电机就不会维持原来的速度旋转了，因为电机有摩擦力，如果不持续的给驱动力，电机肯定会自发的减速，电机只要一减速，误差就不是0了，此时电机的实际速度低于目标速度，误差为正，比例项输出值是正的，随着电机持续减速，PWM占空比会逐渐增大，也就是电机驱动力度会逐渐加大，直到电机驱动力度和摩擦力的力度平衡，系统达到稳态：
1 假设没有稳态误差，则电机速度 = 目标速度。
2 此时误差为0，PID输出为0，电机没有驱动力。
3 电机必然由于摩擦力减速，产生误差。
4 误差越大，比例项输出越大，电机驱动力度越大。
5 电机驱动力度和摩擦力平衡，电机不再减速，误差不再增大，驱动力不再增大，系统达到稳态。
判断是否会产生稳态误差：给被控对象输入0，判断被控对象会不会自发偏移。
判断稳态误差的方向：给被控对象输入0，自发偏移方向即为稳态误差方向。
大家的疑惑：
你可能认为，这里实验PID的输出值直接给到PWM占空比这样不对，你应该error *Kp += PWM，赋值给当前的占空比，意思就是，比例项输出正，我先读取原来的PWM占空比，然后我在原来PWM占空比的基础上，加上比例项的输出，作为新的PWM占空比，这样就能实现，误差为正时，我加大占空比，必然是加速，误差为负时，我减小占空比，必然是减速，这样不就好啦？
这样的操作，确实没有稳态误差，但是会出现两个问题：
1.“比例项的输出值仅取决于当前时刻的误差，与历史时刻无关”，意思就是对于比例项来说，上一次的输出值，我们是不知道的，既然不知道上一次输出了什么，那么我们这次的运算结果，就没办法+=赋值给上一次的结果了。
2.error乘以一个系数，然后+=赋值给上一个输出值，这正是积分I的作用，你想的方法不是不可行，而是这个想法本来就是PID中的积分项！你的想法和PID的想法是一样的！
积分项（I）
含有比例项和积分项的PID输出值：
这就是PI控制，I在程序中就是累加操作，从程序开始就进行累加，就是积分。
积分项的输出值取决于0~t所有时刻误差的积分，与历史时刻有关。积分项将历史所有时刻的误差累积，乘上积分项系数Ki后作为积分项输出值。意思是，每次积分项调控时，积分项都读取当前的error，然后累加到之前所有error之和上，所以在写积分项的程序时，程序中要单独定义一个变量，用来存储error累加的和，之后这个error累加的和，乘上一个系数Ki，就是积分项的输出。
积分项用于弥补纯比例项产生的稳态误差，若系统持续产生误差，则积分项会不断累积误差，直到控制器产生动作，让稳态误差消失。也就是说，只要有积分项，系统就不会有稳态误差，因为系统输入一直存在稳态误差，则积分项会一直累计这个误差，然后积分项输出的控制力度就会不断地加大，一直加大，最终这个不断加大的驱动力，肯定会减少误差，直到误差为0。误差为0时，比例项直接输出为0，所以此时比例项没有驱动力，但是积分项，误差为0，只是表示积分项的驱动力不再变化，而之前积分项累计的驱动力不会归0，所以误差为0时，积分项可以有恒定的驱动力，这个力就可以对抗系统的自发偏移（例如摩檫力），所以有了积分项，系统不会有稳态误差。另外，这个公式里累计的是误差，所有误差的累计后，再乘以系数Ki才是输出。
那你可能又有疑问，既然积分项那么好，没有稳态误差，那还要比例项干什么？我直接纯积分项调节不叫好了吗？
实际情况是，积分项虽然好，但它本身也是有弊端的：
Ki越大，积分项权重越大，稳态误差消失越快，但系统滞后性也会随之增加。这个系统滞后性就是积分项最大的弊端，因为积分项每次的输出值，都在上次的输出值的基础上累计的，假如说，对于电机控速的例子，如果只使用积分项控制，我先让电机正转到指定速度，过段时间后，积分项累积到了正转这个速度的驱动力，然后我突然需要电机反转，那么积分项就不能立刻输出反转的驱动力，他必须首先负向累计，然后把正向的驱动力消掉，然后才能反向累计，产生反向的驱动力，这样的话，积分项的输出就慢了，这就是滞后性。
滞后性带来的问题，并不是说慢一点就慢一点影响不大，而是系统的滞后会导致不稳定，尤其是一些平衡控制的项目，积分项太大，系统根本不能稳定控制，另外，积分项还有一些其它弊端，比如积分饱和等问题。（积分饱和我们后续讲）
然后我们反观比例项，误差为正，比例项输出正向驱动力，误差一旦变为负，比例项立刻就输出反向驱动力，比例项反应是最快的，而且比例项的结果只取决于当前时刻的误差，与历史无关，比例项也不会累积，不会产生饱和的问题。
根据综上所述，积分项一般不会单独拿出来使用，而是组成PI控制器。
微分项（D）
含有比例项、积分项和微分项的PID输出值：
微分项一般配合PI使用，或者单独配合P来使用，组成PD或者PID控制器。
我们知道，微分实际上就是求导，而求导之际上就是求当前点切线的斜率，当前点切线的斜率，当前点的斜率实际上就是当前误差变化的速度，所以D项的作用，就是输出相反的力，阻碍误差的急剧变化。比如说误差非常稳定，一点也不变，那么斜率为0，D项输出为0，如果误差向一个方向变化，那么D项就会输出一个反向作用力，阻碍这个变化，且变化的速度越快，阻碍的力度越大。注意，D项输出的力，是阻碍误差变化，而和误差本身的大小没关系。
斜率一定程度上反映了误差未来的变化趋势，这使得微分项具有 “预测未来，提前调控”的特性。
微分项给系统增加阻尼，可以有效防止系统超调，尤其是惯性比较大的系统。在实战项目中，尤其是平衡类的项目，比如倒立摆、平衡车，要维持平衡，D项就非常重要。
Kd越大，微分项权重越大，系统阻尼越大，但系统卡顿现象也会随之增加。
我们先来看看微分项的波形：
实际值（蓝线）都快要到目标值了，但是斜率越来越大，就是想要一头扎进去的感觉，一看就会超调，这时微分项的作用就非常大了，让他的斜率放缓。
